摘 要  本文通过例题论述了集合、极限、函数与方程、数形结合等四种数学思想，排列组合、分解法、类比法、反证法、基本定律基本关系式和比例式、坐标曲线、柱形图和扇形图等七种数学方法在高中生物学中的应用。既可以适应新一轮课改的步伐和能力目标，又可以帮助学生对生物学知识的理解和掌握更灵活、更全面，提高学习效率。

关键词  数学思想 数学方法  

在高中生物学学习的过程中，运用数学思想和方法解答一些生物学问题，不仅可以适应新一轮课改的步伐，而且能实现“能用文字、图表以及数学方式等多种表达形式准确地描述生物学方面的内容”的能力目标。同时也可将一些复杂的生物学问题简单化，抽象的问题直观化，可以帮助学生对生物学知识的理解和掌握更灵活、更全面，提高学习效率。

　　1 数学思想的应用

　　1.1集合思想

运用集合思想可以来区分生物学中的一些概念，如激素、酶和蛋白质的关系、组成生物体的各类元素、细胞的结构、种群和群落、生态系统的成分和类型、生存斗争和种间斗争种内斗争等。有些计算中数量关系含蓄，巧用集合图形，可以直观而简洁地解决这些问题，如遗传病的概率计算等问题。

例1.下图是用集合的思想表示各种概念之间的关系，其中与图示不相符的是（　　　）

解析：本题主要考查一些生物学基本概念和基础知识。细胞中的常见的化学元素有20多种，包括大量元素（C、H、O、N、P、S、K、Ga、Mg等）和微量元素（Fe、Mn、Zn、Cu、B、Mo）等。细胞中的主要元素有C、H、O、N、P、S，基本元素是C。生命结构的层次从小到大是：细胞→组织→器官→系统→个体→种群→群落→生态系统→生物圈。核酸包括DNA和RNA两种，其中基因是有遗传效应的DNA片段，而脱氧核苷酸是构成基因（DNA）的基本单位。蛔虫属于动物，它寄生生活在动物消化道内，体内没有线粒体，只能进行无氧呼吸。可看出只有D是不正确的。

例2. 一对夫妇的后代若仅考虑一种病，患甲病可能性为a，正常甲的可能性为b；患乙病可能性为c，正常乙可能性为d。他们只患一种病的可能性有以下几种表达方式，其中正确的是（    ）

①ad+bc ②1-ac-bd    ③a+c-2ac    ④b+d-2bd

A.①       B.①②        C.①②③         D.①②③④

解析：主要考查遗传病中概率的计算。根据题意，结合集合中的交集、补集等思想，做出下图：

从图1中A中可以看出，患甲病的概率为a 或1-b,甲正常的概率为b或1-a；从图1中B可以看出，患乙病的概率为c或1-d，乙正常的概率为d或1-c。则患一种病的概率为：1-ac（甲乙两病）-bd（正常）或ad（只患甲病）+bc（只患乙病）=（1-b）b+（1-d）d =b+d-2bd。从图2中可以看出患一种病的概率：a+c-2ac。故①②③④均正确。

　　1.2极限思想

灵活地借助极限思想，可以将某些生物学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。

例3.下图中曲线能正确表示杂合子（Aa）连续自交若干代后，子代中显性纯合子所占比例的是（    ）

解析：根据题意，经遗传图解分析可知：Aa自交一次，后代中杂合子（Aa）占1/2，纯合子占1-1/2=1/2；自交二次，后代中杂合子占1/2²，纯合子占1-1/2²；……依次类推，可见，设Aa自交ｎ次后子代的显性纯合子的比例为ｙ，则2ｙ＝1－（1／2^ｎ），当ｎ→∞时，ｙ→1/2，随着自交次数的不断增加，后代显性纯合子的比例越来越高；当自交的次数趋于无穷大时，后代基本都为显性纯合子和隐性纯合子。选B。

　　1.3函数与方程思想

生物学中许多数量关系相互关联，互为因果，如将它们联系在一起，充分利用它们的制约关系，可解决不少常规方法不能解决的问题。

例4.有一多肽，其分子式是C₅₅H₇₀O₁₉N₁₀，将其彻底水解后，只得到下列四种氨基酸：谷氨酸（C₂H₅O₄N）、丙氨酸（C₃H₇O₂N）、谷氨酸（C₅H₉O₄N）和苯丙氨酸（C₉H₁₁O₂N）。下列有关该多肽的叙述中，正确的是（ ）

 A.该多肽是九肽

B.该多肽在脱水缩合过程中一定是4种转运RNA参与转运相应的氨基酸

C.该多肽彻底水解可得到3个谷氨酸

D.4种氨基酸缩合成该多肽时，相对分子量减少了162

解析：根据题意，假设该多肽中含有谷氨酸、丙氨酸、谷氨酸和苯丙氨酸的数量分别是a、b、c、d个。根据N原子的数量可列方程①a+b+c+d=10，由此可知，该多肽是十肽；再根据O原子的数量可列方程②2a+2b+4c+2d=19+9=28。由①②组成的方程式可推知：c=4,即该十肽含有4个谷氨酸。该十肽在脱水缩合过程中有多种转运RNA参与转运相应的氨基酸。答案：D

　　1.4数形结合的思想

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。

例5.用³²P标记了玉米体细胞(2N=20)的DNA分子双链，再将这些细胞转入不含³²P的培养基中培养。在第二次细胞分裂的中期、后期，一个细胞中的染色体总条数和被³²P标记的染色体条数分别是（ ）

A.中期20和20、后期40和20              B.中期20和10、后期40和20

C.中期20和20、后期40和10              D.中期20和10、后期40和10

解析：主要考查DNA分子的半保留复制。单纯靠理解，借此题比较困难，但以一对同源然染色体为例结合有丝分裂的图像，画出如下的图像，即可一目了然，简单明了。

假设图A是一个正常的玉米体细胞，经过第一次有丝分裂形成的子细胞为体细胞（图B）；在第二次有丝分裂的中期、后期分别为图C和图D。故从中可看出，被³²P标记的染色体条数分别为20条和20条。故选A。

　　2 数学方法的应用

　　2.1排列组合

在计算概率或种类数目时，往往涉及到比较复杂的情况，不仅费时费力，而且可能漏算。此时采用数学中的排列组合知识来进行解题，会有事半功倍之效。如解释蛋白质的多样性、遗传信息种类、密码子的种类、交配类型、复等位基因组合的基因型种类等。

例6.如果有足量的三种氨基酸，分别为甲、乙、丙，则它们能形成的三肽种类以及包含三种氨基酸的三肽种类分别最多有（    ）

A.9种，9种   B.6种，3种   C.27种，6种   D.3种，3种

解析：多肽的不同取决于构成多肽的氨基酸的种类、数量、排列次序。三肽由三个氨基酸形成，若每种氨基酸均含有一个，可构成三肽种类为A³₃＝6种。若每种氨基酸数量不限，则三肽中的三个位置上，每个位置上出现的氨基酸的可能种类都为C¹₃种，则三肽的种类为C¹₃ C¹₃ C¹₃＝3³种=27种。答案：C

例7. 一个二倍体的种群中，已知一条常染色体的某一基因位点上有6种不同的复等位基因，那么在这个群体中，可能存在的基因型的总数有多少？其形成的三倍体有多少种可能的基因型？

解析：本题首先要明确，二倍体的体细胞中基因必须是成对存在，基因型有二种情况：纯合子和杂合子。如有ｎ对复等位基因，由于纯合子每对基因必须相同，因而有C¹_n种，杂合子每对基因必须杂合，因而有C C²_n种，这样，可能存在的基因型总数为C¹₆＋C²₆＝21种。如形成三倍体，则可组成的基因型为C¹₆＋2C²₆＋C³₆＝56种。

　　2.2分解法

在解决有关基因的自由组合定律等应用题时，常涉及到两对、两对以上的基因，可把多对基因的问题分解成一对一对的基因问题来解决，然后根据乘法原理组合起来。

例8：基因型为AaBBCcDdEe的个体（独立遗传），此个体能产生几种类型的配子（ ）  

A.8种 B.16种 C.32种   D.64种

解析：由题意可知，此个体中的几对基因是独立遗传的，而每一对都符合基因的分离定律，

逐对分析：        Aa   BB   Cc   Dd   Ee

↓   ↓   ↓   ↓   ↓

产生配子的种类： 2 × 1 × 2 × 2 × 2 = 16种

例9：豌豆中高茎(T)对矮茎(t)是显性，绿豆荚(G)对黄豆荚(g)是显性，这两对基因是自由组合的，则Ttgg与TtGg杂交后代的基因型和表现型的数目依次是 (    )

A.5和3    B.6和4    C.8和6    D.9和4

解析：根据解遗传应用题的分解思想，可单独分析每对基因杂交后代基因型和表现型的数目然后乘起来。Tt与Tt杂交，后代基因型有三种(TT、2Tt、tt)，表现型有两种(3T_、tt)；gg与Gg杂交，后代基因型有两种(Gg、gg)，表现型有两种(G_、gg)。因此，Ttgg与TtGg杂交后代的基因型有3×2=6种，表现型有2×2=4种。答案：B

　　2.3类比法

类比法在高中生物学习种应用范围较广，如在学习光合作用和呼吸作用时，可根据它们的异同点，抓住其本质特征，利用类比法去处理，不但能起到温故而知新的效果，而且使知识系统化、网络化，形成优化的知识结构。其它如蛋白质和核酸、糖类和脂肪、线粒体与叶绿体、DNA和RNA、DNA复制与转录和翻译、遗传信息和遗传密码等。

例10.线粒体和叶绿体是生物细胞内重要的细胞器。下列有关线粒体和叶绿体结构和功能相联系的叙述中，不正确的是( )   

A.从结构上看，二者都有双层膜、基粒和基质

B.从功能上看，二者都与细胞的能量代谢有关

C.从所含物质上看，二者都含有少量的DNA和RNA

D.二者的功能虽然不同，但它们所具有酶非常相似

解析：叶绿体和线粒体都由双层膜构成，内有基粒和基质。叶绿体是光合作用（储存能量）的场所，线粒体是细胞内有氧呼吸（释放能量）的主要场所。它们都跟生物的能量代谢有关。叶绿体和线粒体中都含有少量的DNA和RNA,在遗传上具有一定的独立性。光合作用和有氧呼吸是不同的代谢方式，所需要的酶也不同，所以叶绿体和线粒体的功能是不相同的。答案：D

例11.下图为人体内两种重要化合物A与B的化学组成关系，相关叙述中正确的是（   )

A.a的种类有20种，b的种类有8种

B.a的结构通式可表示为：

C.B是人体内的主要遗传物质

D.A的种类在神经细胞与表皮细胞中相同，B则不同

解析：主要区分DNA和蛋白质有关的知识点。染色体的主要成分是蛋白质和DNA。DNA的组成元素为 C、H、O、N、P，蛋白质的组成元素主要是C、H、O、N。由此可判断A为蛋白质，a为氨基酸；B为DNA，b为脱氧核苷酸。组成蛋白质的氨基酸约有20种，其结构简式为  ，脱氧核苷酸有4种。凡是具有细胞结构的生物，其遗传物质均是DNA，因此B是人类的遗传物质。人体内各种体细胞都是由一个受精卵经过有丝分裂和细胞分化形成的，因此细胞核内的遗传物质是相同的，但由于基因的选择性表达，不同组织细胞中蛋白质的种类和数量不同。答案：C

　　2.4反证法

生物教学中，有些问题直接从正面考虑很难解决，这时若改变思维方向，从结论入手，或从结论的反面入手反而有利于问题的解决。

12.基因型分别为ddEeFF和DdEeff的2种豌豆杂交,在3对等位基因各自独立遗传的条件下，其子代表现型不同于两个亲本的个体数占全部子代的比例是（   ）

 A.1/4 B.3/8  C.5/8  D.3/4

解析：由于子代中表现型不同于两个亲本的有多种，若不做遗传图解的话，很难解答出来。根据题干中亲本的基因型我们可以知道表现型，我们可以先求出子代中与亲本表现型相同的个体所占的比例，然后用1减去所求的比例即可得到题目所要求的答案。该题中与亲本ddEeFF表现型相同的比例是1/2×3/4×1=3/8,与亲本DdEeff表现型相同的比例是1/2×3/4×0=0，所以子代表现型中不同于两个亲本的个体数所占的比例为1-（3/8+0）=5/8。答案：C

　　2.5基本定律、基本关系式和比例式的运用

常见的基本定律有遗传学上的哈代－温伯格定律、乘法定律和加法定律、生态学上能量流动的十分之一定律等。基本关系式、比例式也很多，主要体现在蛋白质的形成和遗传学计算中，如在蛋白质形成过程中，ｎ个氨基酸脱水缩合形成ｍ条多肽链，则肽键数＝(ｎ?ｍ)个；脱水数＝肽键数＝氨基酸数?肽链数；基因中碱基数∶ｍRNA中碱基数∶氨基酸数至少为6∶3∶1。在两对相对性状的遗传实验中，F₂中四种表现型之比为9∶3∶3∶1；若n对相对性状，则F₂中表现型比例为（3∶1）ⁿ，基因型比例为（1：2∶1）ⁿ。一个用N¹⁴标记的DNA分子放到含N¹⁵的培养基中复制ｎ次，则子代中DNA分子总数为2^ｎ个，含N¹⁵的DNA分子有2^ｎ个，含N¹⁵的链有2^ｎ＋1－2条。一个含有一对等位基因的杂合个体Aa连续自交ｎ次，后代中AA型的个体数＝aa型的个体数＝，杂合子的个体数＝，纯合子的比例1－等。

例13.在某一人群中，经调查得知：隐性性状者为16%，则该性状不同基因型（AA、Aa、aa）的基因型频率是（ ）

 A.0.36、0.48、0.16   B. 0.48、0.36、0.16   C. 0.16、0.48、0.36 D. 0.16、0.36、0.48

解析：由题意可知，aa基因型频率为0.16。根据哈迪-温伯格定律，知基因a的基因频率：q==0.4，则A的基因频率：p=1-q=0.6，所以AA、Aa、aa的基因型频率分别是p²=0.6×0.6=0.36、2pq=2×0.6×0.4=0.48、q²=0.4×0.4=0.16。答案：A

例14.双链DNA分子中，鸟嘌呤（G）占38%，其中一条链中的胸腺嘧啶（T）占单链5%，那么，在另一条链中的胸腺嘧啶（T）占该单链的比例为多少？

解析：A＝T，G＝C是双链DNA分子中的基本关系式，因而，A＋C＝G＋T＝50%，由于鸟嘌呤G占38%，所以胸腺嘧啶T占12%。根据某一碱基所占比例等于该碱基在每一个单链中所占比例之和一半的基本关系，即可求出在另一条链中的胸腺嘧啶（T）占该单链的比例为2×12%－5%＝19%。

　　2.6坐标曲线

生物坐标曲线以其简洁、直观的形式，反映某一生理过程或生命活动规律相关变量之间的关系。它能很好地体现数形结合的思想，能将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形相互渗透，是高考中能力考查的常见题型。

例15.下图表示某种植物的非绿色器官在不同氧浓度下O₂吸收量和CO₂释放量的变化，请据图回答：

（1）外界氧浓度在10％以下时，该器官的呼吸作用方式是   。

（2）该器官CO₂的释放与O₂的吸收两条曲线在P点相交后则重合为一条曲线，此时该器官的呼吸作用方式是              。

（3）当外界氧浓度为4%～5%时，该器官CO₂释放量的相对值为0.6，而O₂吸收量的相对值为0.4。此时，无氧呼吸消耗葡萄糖的相对值约相当于有氧呼吸的       倍，释放的能量约相当于有氧呼吸的       倍，形成ATP的数量约相当于有氧呼吸的_______倍。

解析：该题主要考查有氧呼吸和无氧呼吸的联系和对比。对坐标曲线的分析，要抓住面、线、点。面是坐标平面，横坐标和纵坐标的含义；线是曲线的走势；点是起点、终点、转折点、交点等。对双曲线或多曲线，应先分别分析单条曲线，再一起比较、归纳、综合分析。通过对图像的分析观察，也可把曲线形式的内容转化成教材中的语言文字信息，找出曲线变化的特点及曲线变化的原因，联系教材回答问题。从图中可知为氧浓度与植物气体交换相对值之间的关系。那么O₂吸收量和CO₂释放量分别意味着什么？信息转换成有氧呼吸吸收的氧气和呼吸作用释放的CO₂。P点呢？交点意味着O₂吸收量和CO₂释放量相等，则交点后只有有氧呼吸，之前既有有氧呼吸也有无氧呼吸。那么突破点是O₂吸收量还是CO₂释放量呢？CO₂释放量包括有氧呼吸和无氧呼吸，显然走不通。所以，应该是从O₂吸收量解决有氧呼吸，再用呼吸作用减去有氧呼吸就是无氧呼吸。答案：(1)有氧呼吸和无氧呼吸；(2)有氧呼吸；(3)1.5 ，0.1，3/38

例16.某科学家用放射性同位素分别标记的T和U培养基培养蚕豆根尖分生区细胞，观察其有丝分裂，已知蚕豆有丝分裂周期为20小时，根据这两种碱基被细胞利用的速率绘制的曲线如右图所示。下列对此结果的分析中，不正确的是（ ）

 A.b点时刻，细胞正大量合成RNA

 B.d点时刻，细胞中DNA含量达到最大值

 C.ce阶段，细胞最容易发生基因突变

 D.在显微镜下，处于ae阶段的细胞数目最多

解析：根据题意可知，图中曲线主要处于有丝分裂的分裂间期。因为纵坐标表示碱基的利用速率，故b点表示大量合成RNA，d点表示大量合成DNA，而不是DNA量达到最大值，其最大值大约在e点。可见，正确理解纵坐标是最关键的。故选B。

　　2.7柱形图和扇形图

它们是统计学上常见的两种方法，也是高考试题中常见的两种呈现生物信息的形式。它们主要考查学生识图能力、判断能力、综合分析表达能力、把数字信息、图形和语言之间相互转化等能力。可用于考查细胞分裂各时期的染色体、染色单体和DNA等的数量关系特点和各时期的判断等知识点。

例17.处于有丝分裂过程中的动物细胞，当中心体移向两极时，染色体数（a）、染色单体（b）、DNA分子数（c）可表示为（    ）

解析：本题将常见的细胞分裂图转化为柱形图，考查学生的思维转化能力。中心体移向两极时处于细胞分裂的前期，此时每条染色体含有两条染色单体、两个DNA分子。选B。

例18.下图是按顺时针方向表示的4种植物细胞的细胞周期，其中叙述正确的是（     ）

A.观察植物细胞有丝分裂的实验材料最好是选植物甲

B.在植物乙的a→b段，DNA和染色体数目均增加一倍

C.温度对植物丙a→b段的生理活动没有影响

D.甲植物和丙植物的b→a段所用的时间可能一样长

　　解析：观察有丝分裂最好选用丁材料，因为分裂期/细胞周期比值大，视野中处于分裂期的细胞相对多。植物乙的a→b段DNA复制，产生染色单体，两条姐妹染色单体共用一个着丝点，染色体数目不变。扇形区域表示分裂期和细胞周期的时间比，不代表绝对时间，所以D是有可能的。

　　3 综合应用

    一般来说，常见的是多种数学思想、方法的综合应用。这种题型不仅考查的知识范围大、深度广、区分度大，而且更能达到理想的考查能力的目的。

例19.下列有关生态系统的图像表述不正确的是(   )

A.图1中大、小草履虫的关系是捕食，因为曲线表现出彼此彼长

B.图2中，a、b、c三个地域中，生物多样性最高的是a

C.图3中，假设丙、丁、甲、乙构成一条食物链，甲增加，则丁减少，乙增多

D.图4中，昆虫与鸟关系是捕食和竞争，鸟属于二、三营养级

解析：此题是坐标曲线、扇形图等思想方法的综合运用。图1中大、小草履虫为竞争关系，并不是所有竞争的结果都是一个物种排挤掉另一个物种，也可能是两个种群形成平衡调节或分布于不同空间，或活动行为分离等。图2中a地落叶供给量大，但有机物积累少，说明分解者活动旺盛，物质循环程度高，类似热带雨林的特征。c类似冻土苔原的特征。b地在两者之间，所以多样性程度高的是a地。图3中根据能量流动效率确定食物链为：丙→丁→甲→乙。甲增多，则乙食物充足而增多，而丁则因天敌增多而减少。图4中鸟参与两条食物链，占两个营养级；由于存在不同食物链，鸟与昆虫既形成捕食关系，又形成竞争关系。答案：A

例20.下列四幅图中，描述不正确的是（   ）

A.图I中a、b、c、d可依次表示碱基、脱氧核苷酸、基因和DNA

B.图II可表示pH对酶催化活性的影响

C.图III中a、b、c可表示某一细胞在有丝分裂后期的染色体、染色单体和DNA

D.图IV表示某一株植物的不同器官对不同浓度的生长素的反应

　　解析：图Ⅰ正确地应用集合的思想表示了DNA、基因、脱氧核苷酸和碱基四者之间的关系；图Ⅱ和Ⅳ则形象地运用了坐标曲线，分别表示了pH对酶催化活性的影响、某一株植物的不同器官对不同浓度的生长素的反应；图Ⅲ运用柱形图可表示在细胞分裂过程染色体（a）、染色单体（b）和DNA（c）存在1：2：1的比例关系，即一条染色体上含有2条染色单体，含有2个DNA分子，而有丝分裂后期染色体上没有染色单体。故C是不正确的。